El pais.- En principio, la cosa parece complicada: no tenemos datos sobre longitudes ni alg�n tipo de referencia para comenzar a pensar. Podr�amos triangular el pol�gono (recordad que todo pol�gono es triangulable), hacer mediciones a mano y despu�s utilizar la f�rmula para calcular el �rea de un tri�ngulo, pero corremos el riesgo de cometer alg�n error al medir (aunque sea peque�o), lo que provocar�a que el resultado que obtendr�amos para el �rea no ser�a exacto.

Vamos a buscar alguna referencia antes de seguir pensando. Tomamos unos ejes coordenados y colocamos el v�rtice inferior izquierdo en el origen, en el punto (0,0):

C�mo calcular �reas contando puntitos

Como pod�is ver en la imagen, se da la curiosa circunstancia de que el resto de v�rtices de nuestro pol�gono tambi�n est�n situados en puntos cuyas dos coordenadas son n�meros enteros. Pues para este caso disponemos de una manera muy sencilla, e inesperada, de calcular el �rea del pol�gono. Veamos c�mo podemos hacerlo.

Coloquemos ahora una cuadr�cula mediante la cual podamos ver con facilidad todos los puntos con coordenadas enteras que hay en la zona donde tenemos dibujado nuestro pol�gono:


Marcamos ahora en la cuadr�cula todos los puntos que quedan en el interior del pol�gono (en rojo en la siguiente imagen) y todos los que quedan exactamente sobre alguno de los lados del mismo, incluso los v�rtices (en azul en la imagen). En este caso, nos quedar�a algo as�:


Contemos ahora cu�ntos hay de cada tipo. Tenemos 30 puntos en el interior (en rojo) y 10 puntos en el borde del pol�gono (en azul). Ahora dividimos la cantidad de puntos del borde entre 2, le sumamos la cantidad de puntos del interior y restamos 1 al resultado. En nuestro ejemplo, obtenemos 30 + 5 � 1 = 34. Bien, pues el �rea de nuestro pol�gono es exactamente 34.

Aqu� ten�is una imagen en la que podemos ver el valor del �rea que nos da el programa GeoGebra (debajo del pol�gono) y el valor que nos dan las operaciones que acabamos de describir:


Esto significa que para calcular el �rea de un pol�gono cuyos v�rtices tienen todos coordenadas enteras simplemente hay que contar puntos interiores y puntos del borde y realizar las operaciones citadas. Curioso y inesperado, �verdad?

Este resultado se conoce como teorema de Pick, debido a que fue el matem�tico austriaco Georg Alexander Pick quien lo demostr� en el a�o 1899. Aqu� ten�is el enunciado m�s o menos formal del teorema:

Teorema de Pick

Dada una cuadr�cula en la que cada intersecci�n corresponde con un punto del plano, supongamos que tenemos un pol�gono P sin agujeros cuyos v�rtices est�n todos situados en intersecciones de la cuadr�cula. Si I es el n�mero de intersecciones que quedan en el interior del pol�gono y B el n�mero de intersecciones que quedan sobre alg�n lado del mismo, se tiene que el �rea de dicho pol�gono puede calcularse mediante la siguiente f�rmula:

A = I + B/2 � 1

Aunque demostrar este teorema no es excesivamente dif�cil, creo que excede las pretensiones de este art�culo, por lo que he decidido no incluir ninguna demostraci�n del mismo. De todas formas, no es dif�cil encontrarla por internet. Si alguien encuentra alguna demostraci�n de este teorema.

Aunque la restricci�n de que todos los v�rtices tengan coordenadas enteras puede rebajar un poco la euforia matem�tica que deber�a invadir nuestras mentes al conocer este teorema, no se puede negar su inter�s y, sobre todo, lo inesperado de la relaci�n entre el �rea de un pol�gono y cantidades de puntitos. Seguro que, si no lo conoc�ais, os ha sorprendido.

Y un �ltimo apunte: en tres dimensiones no tenemos un resultado que sea directamente equivalente al teorema de Pick, ya que hay poliedros cuyos v�rtices tienen todos coordenadas enteras para los que su volumen no coincide con el resultado que nos dar�a el teorema de Pick. Una l�stima.